Posts Tagged “Γεωμετρία”

Ο shortmanikos έχει βρεθεί με διάφορους μαγικούς τρόπους παγιδευμένος σε ένα επίπεδο… Ξυπνάει μια μέρα σε ένα σημείο ενός αχανούς επιπέδου χωρίς καμιά ιδέα για το πως βρέθηκε εκεί….
Ξέρει ότι μια ευθεία χωρίζει το επίπεδο που βρίσκεται σε δυο ημιεπίπεδα – το ημιεπίπεδο Α στο οποίο μπορεί να επιβιώσει άνετα ένας άνθρωπος και στο ημιεπίπεδο Β, στο οποίο η ζωή σου τελειώνει μόλις περπατήσεις 13χμ!
Ο shortmanikos ξέρει (δε μας απασχολεί το πως το ξέρει…. όλο το σκηνικό είναι έτσι κι αλλιώς παράλογο…) ότι η απόστασή του από την ευθεία-σύνορο των ημιεπιπέδων δεν είναι μεγαλύτερη από 2χμ. Δεν έχει όμως ιδέα προς τα που είναι αυτή και δεν θα μπορούσε να την διακρίνει παρά μόνο αν την ακουμπούσε (ναι πρόκειται για μαγική αόρατη ευθεία)…
Μπορεί να είναι σίγουρος ότι, ακολουθώντας την κατάλληλη διαδρομή θα αγγίξει την ευθεία περπατώντας λιγότερα από 13χμ;

pizzapro.jpgΚατέφθασαν τα Χριστούγεννα και ο Johnny 5, ο Βαλάντης, ο Θανάσης και ο Μήτσος αποφάσισαν να το γιορτάσουν παίζοντας Pro και τρώγοντας πίτσα. Για να περάσουν πιο ευχάριστα ο Johnny 5 τους έβαλε ένα πρόβλημα που είχε σχέση με το τεμαχισμό της πίτσας ( αν και από μικροί μάθαμε να μην παίζουμε με το φαγητό ).

 

Το πρόβλημα είχε ως εξής:
Αν κόψουμε την πίτσα έτσι ώστε η κάθε κοψιά :

 

  • να μην περνάει από το σημείο τομής των προηγούμενων κοψιμάτων
  • να τέμνει όλες τις προηγούμενες κοψιές
  • να μην περνάει από τα σημεία τομής οποιασδήποτε κοψιάς και της περιφέρειας της πίτσας

Πόσα κομμάτια θα γίνει η πίτσα μετά από ν κοψιές ?

lefkos pirgosΛογικά αυτή τη στιγμή και εκτός απροόπτου ο shortmanikos φτάνει στη Σαλονίκη. Οπότε θα κλείσουμε αυτό το σετάκι γρίφων (των τελευταίων ημερών) με το εξής πρόβλημα:

Έχουμε ίσες σφαίρες στοιβαγμένες σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας (σκεφτείτε μπάλες κανονιού). Η πυραμίδα μας είναι πλήρης, δε χωράει άλλη μπάλα. Επειδή μας προκύπτει μια μπάλα ακόμα πρέπει να κάνουμε μια αναδιάταξη… Φτιάχνουμε λοιπόν μια καινούρια πυραμίδα με τριγωνική αυτή τη φορά βάση, και πλέον οι μπάλες μας στοιβάζονται όλες. Πάλι η στοίβα είναι πλήρης, δε χωράει άλλη μπάλα. Πόσες μπάλες έχουμε;

13.jpg

Η παρέα του YouReka έχει βάλει μπρος ένα μεγάλο project… κυνήγι θυσαυρού στη Θεσσαλονίκη… Επειδή όμως για να έχουμε συμμετοχή θα βάλουμε και ένα μικρό χρηματικό έπαθλο 15.345,121€ (δεκαπέντε χιλιάδες τριακόσια σαράντα πέντε ευρώ και δώδεκα λεπτά και ένα δέκατο του λεπτού) θέλουμε να το στήσουμε το κόλπο ώστε να κερδίσει μια δικιά μας ομάδα.

Σε έναν από τους «γρίφους» μας θα πρέπει να βρούμε ένα παρκάκι σαν κι αυτό του σχήματος… δύο ομόκεντροι κυκλικοί διάδρομοι, ένας στην εξωτερική και ένας πιο μέσα στο πάρκο. Επίσης πολλοί (πάρα πολλοί) διάδρομοι (ακτινικοί) που θα ενώνουν τους δυό κυκλικούς (όπως στο σχήμα – οι διάδρομοι αυτοί θα είναι κομμάτια των ακτίνων των δύο κύκλων).

Επειδή μέρος του παιχνιδιού θα είναι η αναζήτηση στοιχείων στον εξωτερικό διάδρομο-κύκλο θέλουμε να βρούμε μια μέθοδο που να βρίσκουμε πάντα την πιο σύντομη διαδρομή από ένα σημείο του εξωτερικού κύκλου σε ένα άλλο.

Πχ από το Α στο Β συμφέρει η κόκκινη διαδρομή.
από το Β όμως στο Γ συμφέρει η μπλε διαδρομή.

Μπορείτε να βρείτε ένα «κριτήριο» ώστε να βρίσκουμε κατευθείαν την πιο σύντομη διαδρομή;

να θεωρήσετε ότι οι «ακτινικοί» διάδρομοι είναι τόσοι πολλοί που πάντα θα υπάρχει ένας αν τον χρειαστούμε…

«έχω μείνει στη θέση που μ’ άφησες για να με ξαναβρείς,
όμως πρέπει να ‘χει περάσει πολύς καιρός
γιατί τα νύχια μου μακρύνανε κι οι φίλοι με φοβούνται.
Κάθε μέρα μαγειρεύω πατάτες, κάθε μέρα μαγειρεύω πατάτες
έχω χάσει τη Φαντασία μου!
έχω χάσει τη Φαντασία μου!»

Κατερίνα Γώγου – Στο δρόμο – Καμιά φορά

12.jpg
και τώρα εσείς…
στον διπλανό κύκλο να αποδείξετε ότι τα δύο χρωματισμένα εμβαδά είναι ίσα
( γιατί έχω όντως χάσει τη φαντασία μου :( )

455px-flatland_cover.jpg

Ίσως κάποιοι από εσάς να έχετε ακούσει για τη Flatland…

«I call our world Flatland, not because we call it so, but to make its nature clearer to you, my happy readers, who are privileged to live in Space.

Imagine a vast sheet of paper on which straight Lines, Triangles, Squares, Pentagons, Hexagons, and other figures, instead of remaining fixed in their places, move freely about, on or in the surface, but without the power of rising above or sinking below it, very much like shadows—only hard and with luminous edges—and you will then have a pretty correct notion of my country and countrymen. Alas, a few years ago, I should have said «my universe»: but now my mind has been opened to higher views of things.»

«Λέω τον κόσμο μας Επιπεδολάνδη, όχι επειδή εμείς τον λέμε έτσι, αλλά για να κάνω τη φύση του πιο ξεκάθαρη σε σας, χαρούμενοι αναγνώστες μου, που έχετε το προνόμιο να ζείτε στο χώρο.

Φανταστείτε ένα τεράστιο φύλλο χαρτί πάνω στο οποίο Γραμμές, Τρίγωνα, Τετράγωνα, Πεντάγωνα, Εξάγωνα, και άλλες φιγούρες, αντί να παραμένουν φιξαρισμένα στις θέσεις τους, κινούνται ελεύθερα γύρω, μέσα ή πάνω στην επιφάνεια, αλλά χωρίς τη δύναμη να υψωθούν πάνω ή να βυθιστούν κάτω της, λίγο πολύ σαν σκιές – απλά σκληρές και με φωτεινές άκρες – και τότε θα έχετε μια αρκετά σωστή ιδέα της χώρας μου και των συμπατριωτών μου. Αχ, λίγα χρόνια πριν, θα έλεγα «του σύμπαντός μου»: αλλά τώρα το μυαλό μου έχει ανοίξει σε πιο υψηλές θεωρήσεις των πραγμάτων»

Από το πρώτο κεφάλαιο του Flatland: A Romance of Many Dimensions (Illustrated) του Edwin A. Abbot

(μετάφραση αποσπάσματος YouReka.gr) – το έργο βρίσκεται στο public domain και είναι διαθέσιμο (παρέα με πολλά άλλα) από το project Guttenberg.

Αυτό είναι το σκηνικό του σημερινού μας γρίφου, μια επίπεδη χώρα, που οι κάτοικοί της είναι απλά σημεία του επιπέδου…

Ο Τέλης ο Τελίτσας, γνωστός φωτορεπόρτερ της εφημερίδας εφημερίδας Τρέχα Γύρευε και συνεργάτης του δαιμόνιου δημοσιογράφου Πίκου Απίκου, έχει εντοπίσει τη διάσημη σταρ Βούλα Βουλίτσα και την καταδιώκει ώστε να βγάλει μια φωτογραφία της. Μετά από πολύ κυνηγητό καταλήγουν σε ένα τετράγωνο δωμάτιο 1×1, η Βούλα σε ένα σημείο x και ο Τέλης σε ένα άλλο σημείο y. Έχοντας εγκλωβίσει τη Βούλα ο τέλης ετοιμάζεται να βγάλει τη φωτογραφία. Η κάμερά του εκπέμπει μια ευθεία ακτίνα η οποία έχει την ιδιότητα να ανακλάται στους τοίχους του τετράγωνου δωματίου. Αν αυτή η ακτίνα φτάσει στην Βούλα θα πάρει την φωτογραφία της.
Η Βούλα όμως δεν έχει πει την τελευταία της λέξη! Έχει στη διάθεσή της ειδικά προστατευτικά σημεία που μπορούν να μπλοκάρουν την ακτίνα της κάμερας….
Πόσα τέτοια σημεία χρειάζεται η Βούλα για να είναι απόλυτα ασφαλής όπως και να ρίξει την ακτίνα ο Τέλης;

Διευκρίνηση: θεωρείστε ότι η Βούλα και ο Τέλης δε μπορούν να κινηθούν άλλο και ότι η Βούλα μπορεί να τοποθετήσει κάθε προστατευτικό σημείο σε ένα οποιοδήποτε στεθερό σημείο του 1×1 δωματίου (αν πχ η ακτίνα δεν είχε την ιδιότητα να ανακλάται στους τοίχους θα αρκούσε ένα προστετευτικό κάπου στην ευθεία των x,y).